ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ЗАДАЧАХ О ЦЕНТРЕ ТЯЖЕСТИ
Байрашев К.А.
В работе даны решения ряда задач определения центра тяжести однородных фигур и
стержневых тел, сводящиеся к золотому сечению. Показаны некоторые свойства за-
дач. Как частный случай получен ранее известный результат
Золотым сечением или делением в крайнем и среднем отношении положительной величины
a называется ее разделение на две такие части X и a-X ,
чтобы X было средним геометрическим
между a и a -X [1].Из
равенства X=v a( a - X) путем решения квадратного уравнения
X2 +aX - a2 =0, (1)
отбрасывая отрицательный корень, находим:
Записывая (1) в виде:
a2=X+aX=X(X+a),
замечаем, что a есть среднее геометрическое
чисел X и X+a .
Таким образом, если X делит число a в зо-лотом сечении,
то a в свою очередь делит в зо-лотом сечении число X+a .
Обозначим
Очевидно,
где X определяется согласно (2).
Золотое сечение (aurea section) известно с древних времен и используется в архитектуре,
живописи и т.д. [2]. В теории музыки отношение длин струн, равное
j , создает гармонический
аккорд. На золотом сечении основаны природные гармонии.
На наш взгляд, представляют интерес задачи механики, где также обнаруживается золотое
сечение. В статье решено несколько таких задач, относящихся к теме определения центров тяже-сти
(центров масс) тел.
Задача 1.
Из однородного круга радиусом R вырезает-ся круг радиуса r ( r < R ) (рис. 1).
Рисунок 1. Однородный круг радиусом R
Каков должен быть радиус r , чтобы центр тяжести оставшейся фигуры находился в точке C?
Решение. Заштрихованная фигура симмет-рична относительно оси OY. Поэтому ее центр
тяжести находится на этой оси, и его положение полностью определяется координатой
yC. При-меним метод отрицательных масс [3]. Дополним нашу фигуру
до круга радиуса R и примем, что
этот круг с площадью S1 и центром масс (центром тяжести) C1
полностью заполнен массой
(имеет положительную площадь). На круге ра-диуса r распределим отрицательную массу (от-
рицательную площадь) той же плотности. Пло-щадь этого круга с отрицательной массой обо-
значим - S2 ( S2 > 0 ), а ее центр масс - C2 .
Согласно методу имеем
или
.
Сокращая на R - r /=0 , получим относительно r квадратное уравнение
которое с точностью до обозначений совпадает с уравнением (1). Положительный корень
уравнения (6) равен:
Координата центра тяжести:
Отсюда видно, что yc делит вертикальный диа-метр большого круга в золотом сечении.
Отме-тим следующее свойство золотого сечения в этой задаче: если диаметр вырезаемого круга меньше
золотого сечения, то центр тяжести оставшейся фигуры находится внутри нее, если больше
золо-того сечения, то – вне ее. Следует сказать, что аналогичное свойство сохраняется и в задачах 2
и 3.
Задача 2.
Рисунок 2. Однородная квадратная пластина с симметричным вырезом
Из однородной квадратной пластины со сто-роной a вырезают квадрат так, что стороны
обо-их квадратов параллельны. Фигуры имеют вер-тикальную ось симметрии – Oy (рис. 2). Какова
должна быть сторона меньшего квадрата для то-го, чтобы центр тяжести оставшейся после
выре-за части совпал с точкой C
Решение. Очевидно, что точка C лежит на оси симметрии, поэтому xc =0 .
Для нахождения yc
вновь воспользуемся методом отрицательных масс. Опираясь на (5) получим
После сокращения на a - yc /=0 имеем относи-тельно yc квадратное уравнение
совпадающее с уравнением (1). Положительный корень уравнения (8) равен
yc = a j . Видим,
что yc делит сторону a в золотом сечении.
Рассмотрим случай, когда вырезаемый квад-рат расположен асимметрично относительно оси OY,
например, смещен влево (рис.3).
Рисунок 3. Однородная квадратная пластина с асимметричным вырезом
Тогда центр тяжести оставшейся фигуры смещается вправо по горизонтали. Абсцисса
центра тяжести определяется по формуле
Отсюда
Рисунок 4. Однородная квадратная пластина с угловым вырезом
Отметим также, что точки c1, c2,c принад-лежат одной прямой.
При этом точка c1 делитотрезок c2c в золотом сечении, т.е.
На рисунке 4 показан случай, когда меньший квадрат со стороной aj
занимает крайнее по-ложение. Центр тяжести c находится на верши-не малого квадрата и делит в
золотом сечении как стороны, так и диагональ большого квадрата.
Задача 3.
Из однородного прямоугольника со сторо-нами a
и b = ag
( 0< g =<1) вырезан
прямо-угольник со сторонами a1 и a1 g так, что стороны обоих прямоугольников параллельны.
Прямо-
угольники симметричны относительно оси OY. Какова должна быть величина a1 для того, что-
бы центр тяжести оставшейся части совпал с точкой C (рис. 5)?
Рисунок 5. Однородная прямоугольная пластина с симметричным вырезом
Решение. Применяем метод отрицательных масс. Точки с1 , с2 обозначают
соответственно центр тяжести большого и малого прямоуголь-ников. В силу симметрии
хc = 0 . Для нахожде-ния c y имеем уравнение:
После преобразования получим квадратное уравнение, совпадающее с уравнением (8). По-
ложительный корень уравнения равен yc= a j .
Если прямоугольник вырезать так, как пока-зано на рис. 6, то точки с1 , с2,
c расположатся на диагонали прямоугольников. В случае соответ-ствующем рис. 6, центр тяжести
делит в золотом сечении обе стороны большого прямоугольника и его диагональ.
Рисунок 6. Однородная прямоугольная пластина с угловым вырезом
Заметим, что хотя задача 2 является частным случаем задачи 3, целесообразно было рассмот-
реть ее отдельно.
В учебниках и задачниках по теоретической механике и сопротивлению материалов доста-
точно много задач об определении положения центра тяжести плоских фигур, имеющих выре-
зы, отверстия. Автору известна только одна за-дача, когда ответ совпадает с золотым сечением
[4]. Речь идет о варианте задачи 2, соответст-вующем рис. 4.
Пусть невесомый горизонтальный стержень c2c в точке C закреплен шарнирно. Каково
должно быть отношение между силами F1 и F2 ,
перпендикулярными стержню и приложенными в точках C1 и C2 ,
чтобы стержень находился в равновесии (рис. 7)?
Рисунок 7. Невесомый горизонтальный стержень
При равновесии сумма моментов сил F1 и
F2относительно точки c равна нулю, т.е.
Отсюда получаем
Учитывая, что
S2/S1= j 2
, имеем
где S1 - площадь исходной фигуры (круга,квадрата, прямоугольника), S2
- площадь соот-ветствующей вырезанной фигуры.
Задача 4.
Дано тело, состоящее из двух однородных стержней (рис. 8).
Рисунок 8. Тело из двух однородных стержней
Длина вертикального стержня равна a, го-
ризонтального - a j/2
. Ось OY является осью
симметрии. Плотности обоих стержней одинако-вы. Требуется найти центр тяжести этого слож-
ного тела.
Решение. Используя метод разбиения [3],получаем
.
Видно, что центр тяжести делит вертикаль-ный стержень в золотом сечении. Очевидно, ре-
шение сохранится, если горизонтальный стер-жень заменить эквивалентным точечным грузом,
закрепленным на верхнем конце вертикального стержня.
Задача 5.
Тело состоит из трех однородных стержней
(рис. 9).
Рисунок 9.
Длина вертикального стержня равна a , дли-ны прикрепленных к его концам горизонтальных
стержней равны a1 = a Ф/2, a2=aФ,
, где Ф да-
ется согласно (4). Плотности всех стержней оди-наковы. Вертикальный стержень совпадает с
осью симметрии. Требуется найти центр тяжести сложного тела.
Решение. Центр тяжести расположен на оси симметрии. Разбивая сложное тело на 3 части,
находим
Видим, что центр тяжести делит вертикаль-
ный стержень в золотом сечении.
Задача 6.
Дана однородная пластина в форме равно-
бедренной трапеции с основаниями a и b (a < b)
и высотой h , расположенная симметрично отно-
сительно оси OY (рис. 10).
Рисунок 10.
Так как ордината центра тяжести c заклю-
чена в интервале h/3 < yc < h/ 2
, то существует трапеция, для которой
т.е. имеет место золотое сечение.Требуется определить условие, когда центр
тяжести трапеции совпадает с золотым сечением.Решение. Ордината центра тяжести произ-
вольной равнобедренной трапеции находится по следующей формуле:
Выражая меньшее основание трапеции через большее, т.е. полагая b=a g
(0<g<1) и подстав-
ляя в формулу (13) с учетом (12) получим
Таким образом, чтобы центр тяжести равно-бедренной трапеции делил ее высоту в золотом
сечении, необходимо выполнение условия (14).Обозначим через p длину отрезка MN, про-
ходящего через центр тяжести параллельно ос-нованиям. Представим площадь S исходной
трапеции как сумму S1+ S2 (см. рис 10), т.е.
Отсюда находим
или
Равенство (15) можно получить также из простых геометрических соображений.
Заключение
Получены решения ряда задач определения центра тяжести однородных фигур и стержневых
тел, сводящиеся к золотому сечению. Показаны некоторые свойства задач. Как частный случай
получен ранее известный результат. Автор выражает благодарность студенту
группы НР-04 СИНГ ТюмГНГУ Ильющенко В.И. за помощь в оформлении работы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Спра-вочник по математике для инженеров и учащих-ся втузов.
– 13-е изд., исправленное. – М.: Наука, гл. ред. физ-мат. лит., 1986. – 544с.
2. Волошинов А.В. Математика и искусст-во. – М.: Просвещение, 1992. – 335с.
3. Никитин Н.Н. Курс теоретической меха-ники: Учебник для машиностроительных и при-
боростроительных специальностей вузов. -5-е изд. переработанное и дополненное. – М.: Выс-
шая школа, 1990. – 607с.
4. Сборник задач по теоретической механи-ке: Учеб. пособие для студентов технических
вузов /Бражниченко Н.А. и др. - 4-е изд., исправ-ленное и дополненное. – М.: Высшая школа,
1986. – 480с.
http://ustierechi.ucoz.ru/publ/14-1-0-168
|