Байрашев К.А.

В работе даны решения ряда задач определения центра тяжести однородных фигур и стержневых тел, сводящиеся к золотому сечению. Показаны некоторые свойства за- дач. Как частный случай получен ранее известный результат

Золотым сечением или делением в крайнем и среднем отношении положительной величины a называется ее разделение на две такие части X и a-X , чтобы X было средним геометрическим между a и a -X [1].Из равенства X=v a( a - X) путем решения квадратного уравнения

X² +aX - a² =0, (1)

отбрасывая отрицательный корень, находим:

Записывая (1) в виде:

a²=X+aX=X(X+a),

замечаем, что a есть среднее геометрическое чисел X и X+a .

Таким образом, если X делит число a в зо-лотом сечении, то a в свою очередь делит в зо-лотом сечении число X+a .

Обозначим

Очевидно,

где X определяется согласно (2).

Золотое сечение (aurea section) известно с древних времен и используется в архитектуре, живописи и т.д. [2]. В теории музыки отношение длин струн, равное j , создает гармонический аккорд. На золотом сечении основаны природные гармонии.

На наш взгляд, представляют интерес задачи механики, где также обнаруживается золотое сечение. В статье решено несколько таких задач, относящихся к теме определения центров тяже-сти (центров масс) тел.

Задача 1.

Из однородного круга радиусом R вырезает-ся круг радиуса r ( r < R ) (рис. 1).

Рисунок 1. Однородный круг радиусом R

Каков должен быть радиус r , чтобы центр тяжести оставшейся фигуры находился в точке C?

Решение. Заштрихованная фигура симмет-рична относительно оси OY. Поэтому ее центр тяжести находится на этой оси, и его положение полностью определяется координатой y_C. При-меним метод отрицательных масс [3]. Дополним нашу фигуру до круга радиуса R и примем, что этот круг с площадью S₁ и центром масс (центром тяжести) C₁ полностью заполнен массой (имеет положительную площадь). На круге ра-диуса r распределим отрицательную массу (от- рицательную площадь) той же плотности. Пло-щадь этого круга с отрицательной массой обо- значим - S₂ ( S₂ > 0 ), а ее центр масс - C₂ .

Согласно методу имеем

или .

Сокращая на R - r /=0 , получим относительно r квадратное уравнение

которое с точностью до обозначений совпадает с уравнением (1). Положительный корень уравнения (6) равен:

Координата центра тяжести:

Отсюда видно, что y_c делит вертикальный диа-метр большого круга в золотом сечении. Отме-тим следующее свойство золотого сечения в этой задаче: если диаметр вырезаемого круга меньше золотого сечения, то центр тяжести оставшейся фигуры находится внутри нее, если больше золо-того сечения, то – вне ее. Следует сказать, что аналогичное свойство сохраняется и в задачах 2 и 3.

Задача 2.

Рисунок 2. Однородная квадратная пластина с симметричным вырезом

Из однородной квадратной пластины со сто-роной a вырезают квадрат так, что стороны обо-их квадратов параллельны. Фигуры имеют вер-тикальную ось симметрии – Oy (рис. 2). Какова должна быть сторона меньшего квадрата для то-го, чтобы центр тяжести оставшейся после выре-за части совпал с точкой C

Решение. Очевидно, что точка C лежит на оси симметрии, поэтому x_c =0 . Для нахождения y_c вновь воспользуемся методом отрицательных масс. Опираясь на (5) получим

После сокращения на a - y_c /=0 имеем относи-тельно y_c квадратное уравнение

совпадающее с уравнением (1). Положительный корень уравнения (8) равен y_c = a j . Видим, что y_c делит сторону a в золотом сечении.

Рассмотрим случай, когда вырезаемый квад-рат расположен асимметрично относительно оси OY, например, смещен влево (рис.3).

Рисунок 3. Однородная квадратная пластина с асимметричным вырезом

Тогда центр тяжести оставшейся фигуры смещается вправо по горизонтали. Абсцисса центра тяжести определяется по формуле

Отсюда

Рисунок 4. Однородная квадратная пластина с угловым вырезом

Отметим также, что точки c₁, c₂,c принад-лежат одной прямой. При этом точка c₁ делитотрезок c₂c в золотом сечении, т.е.

На рисунке 4 показан случай, когда меньший квадрат со стороной aj занимает крайнее по-ложение. Центр тяжести c находится на верши-не малого квадрата и делит в золотом сечении как стороны, так и диагональ большого квадрата.

Задача 3.

Из однородного прямоугольника со сторо-нами a и b = ag ( 0< g =<1) вырезан прямо-угольник со сторонами a₁ и a₁ g так, что стороны обоих прямоугольников параллельны. Прямо- угольники симметричны относительно оси OY. Какова должна быть величина a₁ для того, что- бы центр тяжести оставшейся части совпал с точкой C (рис. 5)?

Рисунок 5. Однородная прямоугольная пластина с симметричным вырезом

Решение. Применяем метод отрицательных масс. Точки с₁ , с₂ обозначают соответственно центр тяжести большого и малого прямоуголь-ников. В силу симметрии х_c = 0 . Для нахожде-ния c y имеем уравнение:

После преобразования получим квадратное уравнение, совпадающее с уравнением (8). По- ложительный корень уравнения равен y_c= a j . Если прямоугольник вырезать так, как пока-зано на рис. 6, то точки с₁ , с₂, c расположатся на диагонали прямоугольников. В случае соответ-ствующем рис. 6, центр тяжести делит в золотом сечении обе стороны большого прямоугольника и его диагональ.

Рисунок 6. Однородная прямоугольная пластина с угловым вырезом

Заметим, что хотя задача 2 является частным случаем задачи 3, целесообразно было рассмот- реть ее отдельно.

В учебниках и задачниках по теоретической механике и сопротивлению материалов доста- точно много задач об определении положения центра тяжести плоских фигур, имеющих выре- зы, отверстия. Автору известна только одна за-дача, когда ответ совпадает с золотым сечением [4]. Речь идет о варианте задачи 2, соответст-вующем рис. 4.

Пусть невесомый горизонтальный стержень c₂c в точке C закреплен шарнирно. Каково должно быть отношение между силами F₁ и F₂ , перпендикулярными стержню и приложенными в точках C₁ и C₂ , чтобы стержень находился в равновесии (рис. 7)?

Рисунок 7. Невесомый горизонтальный стержень

При равновесии сумма моментов сил F₁ и F₂относительно точки c равна нулю, т.е.

Отсюда получаем

Учитывая, что S₂/S₁= j ² , имеем

где S₁ - площадь исходной фигуры (круга,квадрата, прямоугольника), S₂ - площадь соот-ветствующей вырезанной фигуры.

Задача 4.

Дано тело, состоящее из двух однородных стержней (рис. 8).

Рисунок 8. Тело из двух однородных стержней

Длина вертикального стержня равна a, го- ризонтального - a j/2 . Ось OY является осью симметрии. Плотности обоих стержней одинако-вы. Требуется найти центр тяжести этого слож- ного тела.

Решение. Используя метод разбиения [3],получаем

.

Видно, что центр тяжести делит вертикаль-ный стержень в золотом сечении. Очевидно, ре- шение сохранится, если горизонтальный стер-жень заменить эквивалентным точечным грузом, закрепленным на верхнем конце вертикального стержня.

Задача 5.

Тело состоит из трех однородных стержней (рис. 9).

Рисунок 9.

Длина вертикального стержня равна a , дли-ны прикрепленных к его концам горизонтальных стержней равны a₁ = a Ф/2, a₂=aФ, , где Ф да- ется согласно (4). Плотности всех стержней оди-наковы. Вертикальный стержень совпадает с осью симметрии. Требуется найти центр тяжести сложного тела.

Решение. Центр тяжести расположен на оси симметрии. Разбивая сложное тело на 3 части, находим

Видим, что центр тяжести делит вертикаль- ный стержень в золотом сечении.

Задача 6.

Дана однородная пластина в форме равно- бедренной трапеции с основаниями a и b (a < b) и высотой h , расположенная симметрично отно- сительно оси OY (рис. 10).

Рисунок 10.

Так как ордината центра тяжести c заклю- чена в интервале h/3 < y_c < h/ 2 , то существует трапеция, для которой

т.е. имеет место золотое сечение.Требуется определить условие, когда центр тяжести трапеции совпадает с золотым сечением.Решение. Ордината центра тяжести произ- вольной равнобедренной трапеции находится по следующей формуле:

Выражая меньшее основание трапеции через большее, т.е. полагая b=a g (0<g<1) и подстав- ляя в формулу (13) с учетом (12) получим

Таким образом, чтобы центр тяжести равно-бедренной трапеции делил ее высоту в золотом сечении, необходимо выполнение условия (14).Обозначим через p длину отрезка MN, про- ходящего через центр тяжести параллельно ос-нованиям. Представим площадь S исходной трапеции как сумму S₁+ S₂ (см. рис 10), т.е.

Отсюда находим

или

Равенство (15) можно получить также из простых геометрических соображений.

Заключение

Получены решения ряда задач определения центра тяжести однородных фигур и стержневых тел, сводящиеся к золотому сечению. Показаны некоторые свойства задач. Как частный случай получен ранее известный результат. Автор выражает благодарность студенту группы НР-04 СИНГ ТюмГНГУ Ильющенко В.И. за помощь в оформлении работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Спра-вочник по математике для инженеров и учащих-ся втузов. – 13-е изд., исправленное. – М.: Наука, гл. ред. физ-мат. лит., 1986. – 544с.

2. Волошинов А.В. Математика и искусст-во. – М.: Просвещение, 1992. – 335с.

3. Никитин Н.Н. Курс теоретической меха-ники: Учебник для машиностроительных и при- боростроительных специальностей вузов. -5-е изд. переработанное и дополненное. – М.: Выс- шая школа, 1990. – 607с.

4. Сборник задач по теоретической механи-ке: Учеб. пособие для студентов технических вузов /Бражниченко Н.А. и др. - 4-е изд., исправ-ленное и дополненное. – М.: Высшая школа, 1986. – 480с.

http://ustierechi.ucoz.ru/publ/14-1-0-168